ద్విచర యాదృచ్ఛిక చలరాశులు

ద్విచర యాదృచ్ఛిక చలరాశులు

శాంపిల్ ఆవరణపై నిర్వచించిన ఒక వాస్తవ ప్రమేయన్ని యాదృచ్ఛిక చలరాశి అంటారని తెలుసు. ఒక శాంపిల్ ఆవరణంపై ఒక యాద్రచ్ఛిక చలరాశినే గాక ఒకే శాంపిల్ ఆవరణ ఆధారంగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ యాదృచ్ఛిక చలరాశుల సదిశ(vector) ను కూడా నిర్వచించవచ్చు. ప్రస్తుతం రెండు చలరాశుల సదిశను మాత్రం పరిశీలిద్దాం. ఉదాహరణకు, ఒక కళాశాలలోని విద్యార్దుల ఎత్తులు, బరువులు (లేదా) వర్షపాతం, పంట దిగుబడి మొదలైనవి.

నిర్వచనం

X,Y అనే రెండు ఏకచర యాదృచ్ఛిక చలరాశులు శాంపుల్ ఆవరణ 'S' లో నిర్వచితమైతే యాదృచ్ఛిక సదిశ (X,Y)కు శాంపుల్ బిందువులు ద్విపరిమాణ అంతరాళం R²లో అనుసంధానం చేయడాన్ని ద్విపరిమాణ యాదృచిక చలరాశి (లేదా) ద్విచర యాదృచ్ఛిక చలరాశి అని అంటారు. ద్విపరిమాణ యాదృచ్ఛిక చకరాశులను వచ్ఛిన్న,అవిచ్ఛిన్న అనే రెండు రకాలుగా విభజించవచ్చు. యాదృచ్ఛిక చలరాశి పరిమిత లేదా గణన సాధ్యమైనన్ని వ్యక్తిగత విలుబవలను R² లో తీసుకొంటే దానిని విచ్ఛిన్న ద్విపరిమాణ యాదృచ్ఛిక చలరాశి అని అంటారు.ఒక వేళ యాదృచ్ఛిక చలరాశి అపరిమిత లేదా గణన సాధ్యం కానటువంటి విలువలను R² లో తీసుకొంటే దానిని అవిచ్ఛిన్న ద్విపరిమాణ యాదృచ్ఛిక చలరాశి అని అంటారు. రెండు యాదృచ్ఛిక చలరాశులు X,Y లు సంయుక్త విభాజనం కావాలంటే అవి ఒకే సంభావ్యతా అంతరాళంలో నిర్వచితమైతే దాని శాంపుల్ ఆవరణ 2-టుపుల్ పొంది ఉండాలి. సంయుక్త సంభావ్యతా ప్రమేయాన్ని $P_{XY}(x,y)$ తో సూచిస్తారు. అయితే ఘటన E యొక్క సంభావ్యత కింది విధంగా రాయవచ్చు.

$P_{XY}(x,y)$=P(X,Y)∈E].

ద్విపరిమాణ లేదా సంయుక్త సంభవ్యతా ద్రవ్య ప్రమేయం

X,Y లు రెండు యాదృచ్ఛిక చలరాశులు, శాంపుల్ ఆవరణ S లో నిర్వచిత మయ్యాయి.

X(S)={x₁,x₂,......,x_n} X {y₁,y₂,...y_m}

సంభావ్యత అంతరాళంలో ఉన్న జతలు (x_i,y_i) కూడా P(X=x_i,Y=y_i) ను P(x_i,y_i) గా రాయనచ్చు. X(S) X Y(S) పై ప్రమేయం p ని $P_{ij}$=P(X=x_i∩Y=y_j)=P(x_i,y_i) గా నిర్వచిస్తే దానిని సంయుక్త సంభావ్యతా ద్రవ్య ప్రమేయం అని అంటారు. దానిని కింది పట్టికలో చూడవచ్చు.

పట్టిక:

x\y	y1	y2	y3	.......	yj	.......	ym	మొత్తం
x1	$P_{11}$	$P_{12}$	$P_{13}$	.....	$P_{1j}$	......	$P_{1m}$	$P_1.$.
x2	$P_{21}$	$P_{22}$	$P_{23}$	.....	$P_{2j}$	.....	$P_{2m}$	$P_2.$
x3	$P_{31}$	$P_{32}$	$P_{33}$	.....	$P_{3j}$	.....	$P_{3m}$	$P_3.$
.......	.....	.....	.....	.....	.....	.....	.....	.....
xi	$P_{i1}$	$P_{i2}$	$P_{i3}$	.....	$P_{ij}$	.....	$P_{im}$	$P_i.$
.......	......	.....	.....	.....	......	.....	......	.....
xn	$P_{n1}$	$P_{n2}$	$P_{n3}$	.....	$P_{nj}$	.....	$P_{nm}$	$P_n.$
మొత్తం	$P_{.1}$	$P_{.2}$	$P_{.3}$	.....	$P_{.j}$	.....	$P_{.m}$	1

నిర్వచనం : (X,Y) ద్విపరిమాణ విచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశి అయితే X,Y యొక్క సంయుక్త విచ్ఛిన్న ప్రమేయం సంభావ్యతా ద్రవ్య ప్రమేయం అని కూడా పిలుస్తారు. దీనిని వ$P_{XY}$ తో సూచిస్తారు. దీనిని కింది విధంగా నిర్వచిస్తాం.

$P_{XY}$($x_i$,$y_j$)=P[X=$x_i$,Y=$y_j$] ($x_i$,$y_j$) i=1,2....n ,j=1,2....m (Sకు)

$P_{XY}$($x_i$,$y_j$)=0, ఇతరవి

ఉపాంత సంభావ్యతా ప్రమేయం

X,Y అనేవి విచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశులు. వీటి గణన సాధ్యమయ్యే విలువలు ($x_i$,$y_j$) తీసుకుంటే i=1,2....n , j=1,2....m. యొక్క సంభావ్యతా విభాజనం ఏకచలరాశిని కింది విధంగా ఉద్దేశించవచ్చు.

$P_X(x_i$)=P(X=$x_i$)

=P(X=$x_i$∩Y=$y_1$)+P(X=$x_i$∩Y=$y_2$)

+.....+P(X=$x_i$∩Y=$y_j$)

+.....+P(X=$x_i$∩Y=$y_m$)

=$P_{i1}$+$P_{i2}$+....+$P_{ij}$+......+$P_{im}$=$\sum _{j=1}^m$$P_{ij}$

=$\sum _{j=1}^m$$P(x_i$,$y_j$)=$p_i$. i=1,2 ....n

దీనిని ఉపాంత సంభావ్యతా ద్రవ్య ప్రమేయం (లేదా) X యొక్క వుచ్చిన్న సాంద్రతా ప్రమేయం అని కూడా అంటారు.

అంతేకాకుండా $\sum _{j=1}^n$$p_i$.=$p_{1.}$+$p_{2.}$+.....+$p_{n.}$=$\sum _{i=1}^m$<$\sum _{j=1}^n$ $p_{ij}$=1 .

ఇదేవిధంగా కింది విధంగా నిరుపించవచ్చు.

$p_Y(y_j$)=P(Y=$y_j$)=$\sum _{i=1}^n$ $p_{ij}$=$\sum _{i=1}^n$$P(x_i$,$y_j$)=$p_{.j}$. , j=1,2 ....m

ఇది Y యొక్క ఉపాంత సంభావ్యతా ద్రవ్య ప్రమేయం.

షరతు సంభావ్యతా ప్రమేయం :

నిర్వచనం: X,Y అనే ద్విపరిమాణ విచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశులు అయితే ఇచ్చిన Y=y కు X యొక్క షరతు సంభావ్యతా ద్రవ్య ప్రమేయాన్ని $f_{X/Y}^{(x/y)}$ తో సూచిస్తాం.

దీనిని

$f_{X/Y}^{(x/y)}$=$\frac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}$ గా నిర్వచ్చిస్తాం. అది

P(Y=y)≠0 అయినప్పుడు మాత్రమే.

షరతు సంభావ్యతా ప్రమేయానికి కూడా సంభవ్యతా ప్రమేయాల నియమాలన్నీ వర్తిస్తాయి.

విచ్ఛిన్న యదృచ్ఛిక చలరాశులు X,Y లు స్వతంత్రాలు కావలంతే ఆవశ్యక పర్యాప్త నియమం.

P(X=$x_i$,Y=$y_j$)=P(X=$x_i$).P(Y=$y_j$),($x_i$,Y=$y_j$) యొక్క అన్ని విలువలకు

i=1,2.....n,

j=1,2....m (X,Y కు)

ద్విచర యాదృచ్ఛిక సదిశల విభాజన ప్రమేయం

నిర్వచనం : X,Y లు ద్విచర తాదృచ్ఛిక చలరాశులు అయితే ఏవైనా రెండు వాస్తవ సంఖ్యలు x,y లకు

$F_{XY}(xy)$=P=(X≤x,Y≤y).

ప్రమేయాన్ని X,Y ల విభాజన ప్రమేయం అని అంటారు.

సంయుక్త విభాజన ప్రమేయం ధర్మాలు :

సంయుక్త విభాజన ప్రమేయం కింది ధర్మాలతో ఉంటుంది.

1. (i) వాస్తవ సంఖ్యలు $a_1$,$b_1$,$a_2$,$b_2$ లకు

P($a_1$<X≤$b_1$,$a_2$<Y≤$b_2$)=$F_{XY}$($b_1$$b_2$)+$F_{XY}$($a_1$$a_2$)-$F_{XY}$($a_1$$b_2$)-$F_{XY}$($b_1$$a_2$)

(ii) $a_1$<$a_2$,$b_1$<$b_2$ అయితే

(X≤$a_1$,Y≤$a_2$)+($a_1$<X≤$b_1$,Y≤$a_2$)=(X≤$b_1$,Y≤$a_2$).

ఎడమవైపు ఉన్న ఘటనలు పరస్పర విరుద్దాలు.

there4 F($a_1$,≤$a_2$)+P($a_1$<X≤$b_1$,Y≤$a_2$)=F($b_1$,≤$a_2$)

⇒F($b_1$,≤$a_2$)-F($a_1$,≤$a_2$)=P($a_1$<X≤$b_1$,Y≤$a_2$)

there4 F($b_1$,≤$a_2$)≥F($a_1$,≤$a_2$)

[ఎందుకంటే,P($a_1$<X≤$b_1$,Y≤$a_2$))≥0]

అదే విధంగా

there4 F($a_1$,≤$b_2$)≥F($a_1$,≤$a_2$). ఇది F(x,) కు ఏకదిష్ట అనరోహణ ప్రమేయం అవుతుంది.

2.F(-$\mathrm{\infty }$,y)=0=.F(x,-$\mathrm{\infty }$),F(+$\mathrm{\infty }$,+$\mathrm{\infty }$=1

3.సాంద్రతా ప్రమేయం f(x,y) అనేది అంతరాళం (x,y) లో అవిచ్ఛిన్నమైతే {$\partial$^2F(x,y)}/{$\partial$x$\partial$y}</math>=f(x,y) అవుతుంది.

ఉపాంత విభాజన ప్రమేయం

సంయుక్త నిభాజన ప్రమేయం $F_{XY}(x,y)$ అయితే విభాజన ప్రమేయాలు $F_X(x)$,$F_Y(y)$ లు వరసగా యాదృచ్ఛిక చలరాశి X,Y ల ఉపాంత విభాజన ప్రమేయాలు అంటారు.

$F_X(x)$ =P(X≤y,Y<$\mathrm{\infty }$)

=lim_{y→$\mathrm{\infty }$} $F_{XY}(x,y)$=$F_{XY}(x,\mathrm{\infty }$).

aదే విధంగా $F_Y(y)$=P(Y≤y)=P(X<$\mathrm{\infty }$,Y≤y)

=lim_{y→$\mathrm{\infty }$} $F_{XY}(x,y)$=$F_{XY}(\mathrm{\infty }$,y).

సంయుక్త విభాజన ప్రమేయం $F_{XY}(x,y)$ కు అనుగుణ్యంగా వ$F_X(x)$ ను X యొక్క ఉపాంత విభాజన ప్రమేయం అని అంటారు. అదే విధంగా సంయుక్త విభాజన ప్రమేయం వ$F_{XY}(x,y)$ కు అనుగుణ్యంగా $F_Y(y)$ ను Y యొక్క ఉపాంత విభాజన ప్రమేయం అని అంటారు. సంయుక్త విచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశులకు, ఉపాంత వుభాజన ప్రమేయాలు కింది విధంగా ఉంటాయి.

$F_X(x)$=$\sum _y$ P(X≤x,Y=y),

$F_Y(y)$=$\sum _x$ P(X=x,Y≤y).

అదే విధంగా, సంయుక్త అవిచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశులకు, ఉపాంత విభాజన ప్రమేయాలు కింది విధంగా ఉంటాయి.

$F_X(x)$=$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}$ {$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}$$f_{X/Y}^{(x/y)}$ dy}dx,

$F_Y(y)$=$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}$ {$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}$$f_{X/Y}^{(x/y)}$ dx}dy.

అవిచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశులకు సంయుక్త, ఉపాంత సాంద్రతా ప్రమేయాలు

ద్విపరిమాణ అవిచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశుల సంయుక్త విభాజన ప్రమేయం పార్స్ చెయ్యలేకపోయాం (సింటాక్సు లోపం): {\displaystyle F_{XY}(x,y) ను అవకలనం చేస్తే సంయుక్త సంభావ్యత సాంద్రతా ప్రమేయం లభిస్తుంది. <math>f_{X/Y}^(x/y)} =${\partial }^2(Fx,y)/part$xpart</math>y =lim_(

ఇవి కూడా చూడండి

• యాదృచ్ఛిక చలరాశులు