ఏకరూప విభాజనం

దస్త్రం:Uniform discrete pmf svg.svg

ఏకరూప విభాజనం

నిర్వచనం - ఇది సాధారణ సంభావ్యతా విభాజనం.ఇందులో పరిమిత సంఖ్య అవకాశాలు ఉంటూ అన్ని ఒకే సంభావ్యతతో ఉంటాయి.దీనిని అన్నింటికీ సమాన అవకాశాలు ఉన్న ప్రయోగంలో ఫలితాలు నమూనా (model) కోసం ఉపయోగిస్తారు.

విచ్ఛిన్న ఏకరూప యాదృచ్ఛిక చలరాశి X యొక్క సంభావ్యత ద్రవ్య ప్రమేయం

$P(X=k)=\frac{1}{N};k=1,2,3,.....,N$

సంచిత (cumulative) విభాజన ప్రమేయం

$P(X\le k)=\frac{k}{N};k=1,2,3,\dots ,N$

అంకమధ్యమం, విస్తృతి

అంకమధ్యమం=$E(x)=\sum xp(x)=\frac{1}{N}[1+2+3+.........+N]$

$=\frac{1}{N}\frac{N(N+1)}{2}$ 

$=\frac{N+1}{2}$

విస్తృతి:

=E (x^2) -[E (x) ]^2

$E(x^2)=\sum x^{2}p(x)=\frac{1}{N}[1^2+2^2+3^2+\dots +N^2]$

$=\frac{1}{N}\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}=\frac{(N+1)(2N+1)}{6}$

var (x) = E (x²) -[E (x) ]²

$=\frac{(N+1)(2N+1)}{6}$ =${\frac{(N+1)}{4}}^2$

$=\frac{(N+1)(N-1)}{12}$

$var(x)=\frac{(N^2-1)}{12}$

ఘతికోత్పాదక ప్రమేయం

విభాజనం యొక్క ఘాతికోత్పాదక ప్రమేయం

$M_x(t)=E(e^{tx})=\sum e^{tx}P(X=x)$

$=\sum e^{tx}\frac{1}{N}=\frac{1}{N}(e^t+e^{2t}+........+e^{Nt})$

$=\frac{1}{N}{e}^{tx}(1+e^t+e^{2t}+........+e^{(N-1)t})$

$=\frac{e^t}{N}\frac{(1-e^{Nt})}{1-e^t}$

=>$M_x(t)=\frac{e^t}{N}\frac{(1-e^{Nt})}{1-e^t}$

ఇది ఏకరుప విభాజనం యొక్క ఘాతికోత్పాదక ప్రమేయం .

లాక్షణిక ప్రమేయం

లాక్షణిక ప్రమేయాన్ని తీసుకుంటే

${\phi }_X(t)=E[e^{itX}]=\sum _{x=1}^N{e}^{itX}P(x=x)$

$=\sum e^{itx}\frac{1}{N}=\frac{1}{N}(e^{it}+e^{2it}+e^{3it}+\dots +e^{Nit})$

$=\frac{1}{N}{e}^{it}(1+e^{it}+e^{2it}+e^{3it}+\dots +e^{(N-1)it})$

=>${\phi }_X(t)=\frac{e^{it}}{N}\frac{1-e^{Nit}}{1-e^{it}}$

ఇది ఏకరుప విభాజనం యొక్క లక్షణిక ప్రమేయం .

సంభావ్యతోత్పాదక ప్రమేయం

సంభావ్యతోత్పాదక ప్రమేయ గణన సమాసం కోసం

$P_x(s)=E(s^x)=\sum s^x{p}_x$ను ఉపయోగిస్తాం.

ఏకరుప విభజనం యొక్క సంభావ్యతా ద్రవ్య ప్రమేయం

$P(X=x)=\frac{1}{N}$

$=\sum _x{s}^x{p}_x$

$=\sum _{x=1}^N{s}^x.\frac{1}{N}=\frac{1}{N}\sum _{x=1}^N{s}^x$

$=\frac{1}{N}(s+s^2+s^3+\dots +s^N)$

$=\frac{1}{N}\frac{s(1-s^N)}{(1-s)}$

=>$P_x(s)=\frac{1}{N}\frac{s(1-s^N)}{(1-s)}$

ఇది ఏకరుప విభజనం యొక్కసంభావ్యతా ద్రవ్య ప్రమేయం.