డీఅలంబర్ట్ సూత్రము

సాంకేతిక పదాల అర్థాలు

• అందరికీ సులభంగా అర్థం అవాలనే ఉద్దేశంతో ఇక్కడ వాడిన సాంకేతిక పదాల అర్థాలు ముందుగా ఈ దిగువ చూచునది.
• acceleration = త్వరణం; సంవేగం
• force = బలం
• mass = తండం, గురుత్వం
• momentum = భారగతి, రయజాతం
• particle = రేణువు
• system = వ్యవస్థ
• vector = దిశమాణి, సదిశరాసి
• velocity = వడి, ధృతిగతి
• virtual = కాల్పనిక, మిథ్యా
• work = పని, కర్మ

డీఅలంబర్ట్

డాలంబర్ట్ సూత్రం

డాలంబర్ట్ సూత్రం లేదా లగ్రాంజ్-డాలంబర్ట్ సూత్రం, సంప్రదాయక యంత్రశాస్త్రం (classical mechanics) యొక్క మూలసూత్రం. ఈ సూత్రాన్ని ఫ్రెంచ్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త, గణితజ్ఞుడు అయిన డాలంబర్ట్ పేరు మీద స్థిర పరిచారు. న్యూటన్ ప్రవచించిన రెండవ చలన సూత్రం చెప్పేదే ఈ డాలంబర్ట్ సూత్రం కూడా చెబుతోంది; మరొక కోణంలో చెబుతోంది.

స్థిర వ్యవస్థలలో (static systems) కాల్పనిక కర్మ (virtual work) సూత్రం ఎంత ప్రాముఖ్యత సంతరించుకుందో, అదే విధంగా చలన వ్యవస్థలలో (dynamic systems) ఈ డాలంబర్ట్ సూత్రం ప్రాముఖ్యత సంతరించుకుంది. ఒక చలన వ్యవస్థలో అనేక రేణువులు (particles) లేదా తండాలు (masses) ఉన్నాయనుకుందాం. వీటిని m_i అని సూచిద్దాం. ఇవి బాహ్య బలాల ప్రభావంలో ఉన్నాయని అనుకుందాం. అంటే ప్రతి m_i మీద F_i అనే బాహ్య బలం పని చేస్తోందని అనుకుందాం. ఇక్కడ బొద్దుగా ఉన్న F సదిశరాసి, అనగా బాహ్యబలం యొక్క దిశనీ (direction), వేగాన్నీ (speed) సూచిస్తుంది. ప్రతి m_i మీద F_i అనే బలం ప్రయోగించబడడం వల్ల ఈ వ్యవస్థ అంతా కాల్పనిక స్థానభ్రంశం (virtual displacement) చెందిందనుకుందాం. ఎంత ప్రాప్తికి? ఈ స్థానభ్రంశం విలువ δr_i అనుకుందాం. ఇక్కడ బొద్దుగా ఉన్న r సదిశరాసి, అనగా స్థానభ్రంశం జరిగిన దిశనీ, వేగాన్నీ సూచిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో ఈ దిగువ ఇచ్చిన సమీకరణం చెల్లుతుంది.

$\delta W=\sum _i({𝐅}_i-m_i{𝐚}_i)\cdot \delta {𝐫}_i=0,$

ఈ సమీకరణంలో

$i$	ఈ వ్యవస్థలో చలరాశుల పాదాంకంగా కనిపించే ఈ పూర్ణాంకం వివిధ రేణువులని సూచించడానికి ఉపయోగిస్తుంది. అనగా, i=1 అయితే ఒకటవ రేణువు, i=2 అయితే రెండవ రేణువు, వగైరా.
${𝐅}_i$	రేణువు i మీద అనువర్తిస్తున్న మొత్తం బలం. ఈ మొత్తాన్ని సదిశరాసుల బీజగణితం ఉపయోగించి వెలకట్టాలి.
$m_i$	రేణువు i యొక్క గురుత్వం (ద్రవ్య రాసి).
${𝐚}_i$	రేణువు i యొక్క త్వరణం (వేగవృద్ధి).
$m_i{𝐚}_i$	రేణువు i యొక్క రయజాతాన్ని (వేగవృద్ధిని) తీసుకుని దాని కాల ఉత్పన్నం వెలకట్టగా వచ్చింది.
$\delta {𝐫}_i$	రేణువు i యొక్క కాల్పనిక స్థానభ్రంశం. ఇది సదిశరాసి; దీని ఇనికి త్లపడానికి ఆ రేణువు త్రిమాత్రక ప్రదేశంలో ఎక్కడ ఉందో చెప్పడానికి 3 నిరూపకాల వెంట వెళ్లాలి.

ఈ సూత్రం అర్థం

పైన ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని సాంకేతిక భాషలో ఇలా వర్ణించవచ్చు: కొన్ని ఆసేధ బలాల (constraining forces, ఇక్కడ F_i) సమక్షంలో, జడత్వ బలాలతో (inertial forces, ఇక్కడ త్వరణాలు) ప్రభావితం అయిన n రేణువులు ఉన్న వ్యవస్థలో ఆసేధ బలాలు చేసే పని శూన్యం. ఈ వాక్యంలోని భావం సామాన్యుల భాషలో అర్థం కావడానికి చిన్న ఉదాహరణని చూద్దాం. ఒక వాలు బల్ల మీద ఒక వస్తువు జారుతున్నాదనుకుందాం. ఈ పరిస్థితిలో వస్తువు బల్ల మీద ఉండాలంటే వస్తువుని బల్ల బలంగా బయటకి నెట్టాలి. ఇది ఇక్కడ అసేధ బలం. ఈ బలం ఎల్లప్పుడు వాలు తలానికి లంబ దిశలోనే ఉంటుంది అని సూత్రం చెబుతోంది.

అసేధం చేసే పని ఏమిటి? కదలిక మీద ఆంక్ష విధించడం. ఈ ఆంక్ష ఒక బలం రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుంది. గోడకి ఎదురుగా నడుచుకుంటూ పోతే గోడ అడ్డు వచ్చి కదలికకి అవరోధం కలిగిస్తుంది. ఈ అవరోధం బలం రూపంలో వచ్చి ముఖాన్ని గుద్దుకుంటే బుర్రకి బొప్పి కడుతుంది.

కదలిక మీద ఆంక్షలు ఉన్న రేణు సమూహాల చలనశీలాన్ని వర్ణించవలసి వచ్చినప్పుడు ఈ సూత్రం బాగా ఉపయోగపడుతుంది. ఈ సూత్రంతో మొదలు పెట్టి ఆయిలర్-లగ్రాంజ్ సమీకరణాలని ఉత్పత్తి చెయ్యడం తేలిక.

మూలాలు

D'Alembert's Principle: The Original Formulation and Application in Jean d'Alembert's Tradé de Dynamique (1743) Lanczos, Cornelius (1970). The Variational Principles of Mechanics (4th ed.). New York: Dover Publications Inc. p. 92. ISBN 0-486-65067-7

ఇవి కూడా చూడండి

• న్యూటన్ సూత్రాలు
• బలము