స్థూపం పేజీ సోర్సు చూడండి

{{విస్తరణ}}
[[దస్త్రం:Empty tin can2009-01-19.jpg|thumb|స్థూపాకారంగా ఉన్న ఖాళీ డబ్బా|216x216px]]
స్థూపం అనగా గణితంలో వచ్చే స్తంబం వంటి ఆకారం. ఇది త్రిమితీయ ఘనాకారం. ఇది పైన, క్రింది భాగాలు [[వృత్తము|వృత్తాకార]] తలాలు  గల డబ్బా వంటి నిర్మాణం<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dku%2Flindros κύλινδρος] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130730214825/http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dku%2Flindros|date=2013-07-30}}, Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus</ref>. ఒక [[చతురస్రం]] భుజాన్ని, [[దీర్ఘ చతురస్రం|దీర్ఘచతురస్ర]] పొడవు లేదా వెడల్పులను అక్షంగా తీసుకొని [[వృత్తము|వృత్తాకారం]]గా చుట్టడం వల్ల స్థూపాకారం తయారుచేయవచ్చు. ఈ స్థూపాలను స్తంబాలని కూడా వ్యవహరిస్తారు. మనం రేఖాఖండాలు గీయడానికి ఉపయోగించే రూళ్ల కర్ర కూడా స్థూపాకారంగానే ఉంటుంది. నిత్య జీవితంలో స్తంబాలు అనేక రకాల త్రిమితీయ ఆకారాలలో ఉన్నప్పటికీ [[గణితము|గణిత శాస్త్రం]]లో మాత్రం పై నుండి క్రింది వరకు ఒకే చుట్టుకొలత గల సమవృత్తాకార స్థూపంగానే పరిగణించాలి<ref>{{Cite web|url=http://www.prajasakti.com/Content/1712772|title=స్థూప ఘనపరిమాణం తెలుసుకోడం ఎలా? {{!}} Prajasakti::Telugu Daily|website=www.prajasakti.com|access-date=2019-08-29|archive-date=2019-08-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20190829144210/http://www.prajasakti.com/Content/1712772|url-status=dead}}</ref>.

=== ఘనపరిమాణం ===
ఒక వృత్తాకార భూమి గల స్థూపం  భూవ్యాసార్థం {{math|''r''}}, స్థూపం ఎత్తు {{mvar|h}} అయిన దాని ఘనపరిమాణం:

: {{math|1=''V'' = π''r''<sup>2</sup>''h''}}.

ఈ సూత్రం లంబంగా ఉండే స్థూపాలకు వర్తిస్తుంది. <ref>{{harvnb|Wentworth|Smith|1913|loc=p. 359}}</ref>

ఈ సూత్రాన్ని కావలెరి సూత్రం ద్వారా కూడా ఉత్పాదించవచ్చు. 

సాధారణంగా అదే నియమం ప్రకారం ఒక స్థూపం ఘనపరిమాణం దాని భూవైశాల్యం, ఎత్తుల లబ్దానికి సమానంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు దీర్ఘ స్థూపం లోని భూమి దీర్ఘ వృత్తాకారంలో ఉన్నందున దాని యొక్క దీర్ఘాక్షం {{mvar|a}}, హ్రస్వాక్షం {{mvar|b}}, దాని ఎత్తు {{mvar|h}} అయిన దాని ఘనపరిమాణం {{math|1=''V'' = ''Ah''}} అవుతుంది. దానిలో {{mvar|A}} అనేది దీర్ఘ వృత్తాకార భూమి వైశాల్యం (= {{math|{{pi}}''ab''}}).  సమ దీర్ఘ వృత్తాకార స్థూపం యొక్క ఈ ఫలితాన్ని సమాకలనం ద్వారా కూడా పొందవచ్చు. అందులో స్థూపం యొక్క అక్షాన్ని ధనాత్మక {{mvar|x}}-అక్షంగానూ, {{math|1=''A''(''x'') = ''A''}} ను ప్రతీ దీర్ఘవృత్తాకార మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యంగా తీసుకుంటారు. అపుడు:
[[దస్త్రం:Elliptic cylinder abh.svg|thumb|A solid elliptic cylinder with the semi-axes {{math|''a''}} and {{math|''b''}} for the base ellipse and height {{math|''h''}}]]

: <math>V=\int_0^h A(x) dx = \int_0^h \pi ab dx = \pi ab \int_0^h dx = \pi abh.</math>

స్థూపాకార అక్షాలను ఉపయోగిస్తే సమ వృత్తాకార స్థూపం యొక్క ఘనపరిమాణాన్ని సమాకలనం ద్వారా గణించవచ్చు. 

::: <math>=\int_{0}^{h} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{r} s \,\, ds \, d\phi \, dz</math>
::: <math>=\pi\,r^2\,h.</math>

=== ఉపరితల వైశాల్యం ===
ఒక సమ వృత్తాకార స్థూపంలో భూవ్యాసార్థం {{math|''r''}} , ఎత్తు {{mvar|h}} అయిన దాని ఉపరితల వైశాల్యం, అది నిలువుగా ఉన్నప్పుడు గల మూడు అంశాల మొత్తంగా చెప్పవచ్చు.ఆ మూడు అంశాలు:  

* పై భాగం వైశ్యాల్యం : {{math|π''r''<sup>2</sup>}}
* క్రింది భాగం వైశాల్యం: {{math|π''r''<sup>2</sup>}}
* వక్రతల వైశాల్యం: {{math|2π''rh''}}

స్థూపం యొక్క పై, క్రింది భాగాల వైశాల్యాలు సమానం. దీనిని భూవైశాల్యం ({{math|''B''}}) అందురు. ప్రక్క తలం యొక్క వైశాల్యాన్ని వక్రతల వైశాల్యం  ( {{math|''L''}}) అందురు.

పైన, క్రింద తలాలు లేని స్థూపానికి వక్ర తలం మాత్రమే ఉంటుంది. అందువలన దాని ఉపరితల వైశాల్యం: 

: {{math|1=''L'' = 2π''rh''}}.

ఒక ఘన సమ వృత్తాకార స్థూపం ఉపరితల వైశాల్యం దాని మూడు అంశాల మొత్తంగా చెప్పవచ్చు: పైభాగం, క్రింది భాగం, ప్రక్క తలం. దాని ఉపరితల వైశాల్యం, 

: {{math|1=''A'' = ''L'' + 2''B'' = 2π''rh'' + 2π''r''<sup>2</sup> = 2π''r''(''h'' + ''r'') = π''d''(''r'' + ''h'')}},

అందులో {{math|1=''d'' = 2''r''}} అనునది స్థూపం పైభాగం లేదా క్రింది భాగం యొక్క [[వ్యాసం (గణిత శాస్త్రము)|వ్యాసం]]. <ref>{{citation|title=Calculus With Applications|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|first1=Peter D.|last1=Lax|author1-link=Peter Lax|first2=Maria Shea|last2=Terrell|publisher=Springer|year=2013|isbn=9781461479468|page=178|url=https://books.google.com/books?id=dDq3BAAAQBAJ&pg=PA178|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180206163427/https://books.google.com/books?id=dDq3BAAAQBAJ&pg=PA178|archivedate=2018-02-06}}.</ref>
<br />

=== సమ వృత్తాకార గుల్ల గోళం ===
[[దస్త్రం:Zylinder-rohr-s.svg|thumb|174x174px|గుల్లగా ఉన్న  స్థూపం]]ఒక సమవృత్తాకార గుల్ల స్థూపం, వేర్వేరు వ్యాసార్థాలు  ఏక కేంద్ర వృత్తాకార భూములు, ఒకే ఎత్తు గల రెండు స్థూపాల మధ్యలో గల త్రిమితీయ ప్రదేశం. అది ప్రక్క పటంలో చూడావచ్చు.

ఒక బోలు స్థూపం ఎత్తు {{math|''h''}}, అంతర వ్యాసార్థం {{math|''r''}}, బాహ్య వ్యాసార్థం {{math|''R''}} అయిన దాని ఘనపరిమాణం:

: <math> V = \pi ( R ^{2} - r ^{2} ) h = 2\pi \left ( \frac{R + r}{2} \right) h (R - r). </math>.

ఈ విధంగా బోలు స్థూపం ఘనపరిమాణం 2{{pi}}(సరాసరి వ్యాసార్థం)(ఎత్తు)(మందం) కు సమానంగా ఉంటుంది<ref>{{harvnb|Swokowski|1983|loc=p. 292}}</ref>. 

దాని ఉపరితల వైశాల్యం, దాని పైన, క్రింది తలాలతో ఈ క్రింది విధంగా ఉంటుంది<ref>{{harvnb|Swokowski|1983|loc=p. 291}}</ref>. 

: <math> A = 2 \pi ( R + r ) h + 2 \pi ( R^2  - r^2  ). </math>.

== మూలాలు ==
{{మూలాల జాబితా}}

[[వర్గం:జ్యామితీయ ఆకృతులు]]