విస్తీర్ణం పేజీ సోర్సు చూడండి

[[File:Area.svg|right|thumb|alt=Three shapes on a square grid|The combined area of these three [[shapes]] is [[approximately#Mathematics|approximately]] 15.56 [[square (geometry)|squares]]]]
'''వైశాల్యం''' అనగా సమతలంలో ఒక ద్విమితీయ ఆకారం ఆక్రమించే స్థల పరిమాణం. దీన్ని అర్థం చేసుకొనుటకు ఒక నిర్ణీత మందముగల ఆకారమునకు మొదటి కోట్ గా దాని ఉపరితలమునకు సరిపడే రంగువేయుటలో ఆక్రమించు స్థల పరిమాణం.<ref name=MathWorld>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Area.html|title=Area|publisher=[[Wolfram MathWorld]]|author=[[Eric W. Weisstein]]|accessdate=3 July 2012}}</ref> ఇది ఒక వక్రతలమునకు యొక్క (ఏక మితీయ భావన) లేదా ఒక ఘన పదార్థం యొక్క ఘనపరిమాణము (త్రి మితీయ భావన) లకు వాటి పొడవులో గల ద్విమితీయ భావన.

ఒక ఆకారము యొక్క వైశాల్యమును నిర్ణీత పరిమాణము గల చదరాలతో పోల్చి చెబుతారు<ref name=AF/>. అంతర్జాతీయ ప్రమాణాలు వ్యవస్థ (SI) పద్ధతిలో వైశాల్యమునకు ప్రమాణాలు "చదరపు మీటర్లు" లేదా "స్క్వేర్ మీటర్లు" (దీనిని m<sup>2</sup>గా వ్రాస్తాము). చదరపు మీటరు అనగా ఒక [[మీటరు]] [[భుజం]] గల చదరపు వైశాల్యము<ref name=B>[[Bureau International des Poids et Mesures]] [http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/ Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960)], retrieved 15 July 2012</ref>. ఒక ఆకారం యొక్క వైశాల్యము మూడు చదరపు మీటర్లు అనగా మూడు ఒక మీటరు భుజము గల చదరాల వైశాల్యములకు సమానం. గణిత శాస్త్రములో ప్రమాణ చదరము అనగా ఏదైనా ఒక ఆకారం యొక్క వైశాల్యం, వాస్తవ సంఖ్యలతో కొలతలేని తలము లేదా ఆకారం యొక్క వైశాల్యము.

కొన్ని సాధరణ ఆకారాలైన [[త్రిభుజం|త్రిభుజాల]], [[దీర్ఘ చతురస్రం|దీర్ఘచతురస్రాల]], [[వృత్తం|వృత్తాల]] యొక్క వైశాల్యములకు సంబంధించిన సూత్రములు అందరికీ సుపరిచితమే. ఈ సూత్రములనుపయోగించి ఒక [[బహుభుజి]] యొక్క వైశాల్యమును వివిధ త్రిభుజాలుగా విడగొట్టి వాటి మొత్తము వైశాల్యమును గణించి కనుగొనవచ్చును<ref name=bkos>{{Cite book |author1=Mark de Berg |author2=Marc van Kreveld |author3=Mark Overmars |author3-link=Mark Overmars |author4=Otfried Schwarzkopf |year=2000 |title=Computational Geometry |url=https://archive.org/details/computationalgeo00berg_365 |publisher=[[Springer-Verlag]] |edition=2nd revised |isbn=3-540-65620-0 |chapter=Chapter 3: Polygon Triangulation |pages=[https://archive.org/details/computationalgeo00berg_365/page/n51 45]–61 |postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}}</ref>

వక్ర సరిహద్దు గల ఆకారాలకు వైశాల్యాలను [[కలన గణితం]] ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చును. నిజానికి,కలన గణిత అభివృద్ధికి ప్రధాన ప్రేరణ యేమిటంటే సమతల పటాలకు వైశాల్యమును గణించుటలో సమస్యలు.<ref>{{cite book|first=Carl B. |last=Boyer |authorlink=Carl Benjamin Boyer |title=A History of the Calculus and Its Conceptual Development |url=https://archive.org/details/historyofcalculu0000boye |publisher=Dover |year=1959 |isbn=0-486-60509-4}}</ref>

ఒక ఘనాకృతిలో గల ఆకారాలైన [[గోళం]], [[శంకువు]], లేదా [[స్థూపం]] వంటివాటి ఉపరితల మొత్తము వైశాల్యాన్ని [[ఉపరితల వైశాల్యము]] అంటారు<ref name=MathWorld/><ref name=MathWorldSurfaceArea>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html|title=Surface Area|publisher=[[Wolfram MathWorld]]|author=[[Eric W. Weisstein]]|accessdate=3 July 2012}}</ref>. సాధారణ గోళముల యొక్క ఉపరితల వైశాల్యములను ప్రాచీన గ్రీకు గణిత శాస్త్రవేత్తలు గణించారు. కానీ యితర సంకిష్ట ఆకారముల యొక్క ఉపరితల వైశాల్యములను సాధారణంగా అనేక చరరాశులతో కూడిన కలన గణితాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

నవీన గణిత శాస్త్రములో వైశాల్యము అనునది ముఖ్యమైన పాత్ర వహిస్తుంది. యిది [[జ్యామితి]], [[కలనగణితం]] లతో పాటు సరళ బీజగణితంలో నిర్ధారకముల నిర్వచముల కొరకు, [[అవకలన జ్యామితి]]లో ఉపరితలాల ప్రాథమిక ధర్మాలను తెలుసుకొనుటకు ఉపయోగపడుతుంది<ref name="doCarmo">do Carmo, Manfredo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall, 1976. Page 98, ISBN 978-0-13-212589-5</ref>. [[విశ్లేషణ]]లో ఒక తలం యొక్క ఉపసమితి యొక్క వైశాల్యమును [[:en:Lebesgue measure|లెబెగూ కొలత]]తో నిర్వచించవచ్చు<ref name="Rudin">Walter Rudin, ''Real and Complex Analysis'', McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.</ref><ref>Gerald Folland, Real Analysis: modern techniques and their applications, John Wiley & Sons, Inc., 1999,Page 20,ISBN 0-471-31716-0</ref> 
సాధారణంగా వైశాల్యము ఉన్నత గణిత శాస్త్రములో ద్విమితీయ ప్రాంతములలో ఘనపరిమాణము యొక్క ప్రత్యేక సందర్భముగా చెప్పబడుతుంది<ref name=MathWorld/>. 
==నిర్వచనము==
ప్రమాణాల ద్వారా నిర్వచించే విధానాన్ని "వైశాల్యం" అనవచ్చును. "వైశాల్యం" అనగా కొన్ని ప్రత్యేక రకముల సమతల పటాల సమూహం "M"లో ఈ క్రింది ధర్మాలను సంతృప్తి పరిచే వాస్తవ సంఖ్యల సమితి యొక్క ప్రమేయం.

* ''M''లో గల అన్ని ''S'' లకు ''a'' (''S'') ≥ 0.అవుతుంది. (అనగా అన్ని సమతల పటాల సమూహం "M"లో గల ఏదేని ఉపసమితి ''S'' తీసుకొంటే దాని వైశాల్యం ఎప్పుడూ ధనాత్మకంగా ఉంటుంది.)
* ''S'' , ''T''లు ''M'' లోని వైతే అపుడు ''S'' ∪ ''T'' , ''S'' ∩ ''T'', ''a'' (''S''∪''T'') = ''a'' (''S'') + ''a'' (''T'') − ''a'' (''S''∩''T'') అవుతుంది.
* ''S'' , ''T'' అనునవి ''M''లో ఉంటే ''S'' ⊆ ''T'' అయితే అపుడు ''T'' − ''S'' కూడా ''M''లో ఉంటుంది. , ''a'' (''T''−''S'') = ''a'' (''T'') − ''a'' (''S'') అవుతుంది.
* ''S'' అనే సమితి ''M''కు ఉపసమితి అయితే , ''S'' , ''T''లు సర్వసమానమైతె అపుడు ''T'' కూడా ''M''లో ఉంటుంది , ''a'' (''S'') = ''a'' (''T'') అవుతుంది.
* ప్రతి దీర్ఘచతురస్రాల సమితి ''R'' కూడా ''M''లో ఉంటుంది. దీర్ఘచతురస్ర పొడవు ''h'' , వెడల్పు ''k'' అయితే అపుడు ''a'' (''R'') = ''hk''. అవుతుంది.
* రెండు దశల ప్రాంతాలు '' S'' ,'' T'' ల మధ్య '' Q'' అనే సమితి ఉంటే, ఒకే భూమిపై గల వివిధ ఆసన్న దీర్ఘచతురస్రాల పరిమిత సమితి అడుగు ప్రాంతంలో యేర్పడుతుంది i.e. ''S'' ⊆ ''Q'' ⊆ ''T'' అవుతుంది. అపుదు ''a'' (''S'') ≤ c ≤ ''a'' (''T'') అయ్యేటట్లు ''c'' అనే ఏకైక సంఖ్య వ్యవస్థితమవుతుంది.
* లెట్'' Q'' రెండు దశల ప్రాంతాల మధ్య నడుమ సమూహం'' S'' ,'' T''. ఒక అడుగు ప్రాంతంలో, ఒక సాధారణ బేస్ విశ్రాంతి ప్రక్కనే దీర్ఘ చతురస్రాలు ఒక పరిమిత యూనియన్ నుండి ఏర్పడుతుంది. ''S'' , ''T'' ల యొక్క అన్ని త్రాంతాలకు ''a'' (''Q'') = ''c'' అవుతుంది.

వైశాల్య ప్రమేయం వ్యవస్థితమైనట్లు నిరూపించబడింది.<ref name=Moise>{{cite book|last=Moise|first=Edwin|title=Elementary Geometry from an Advanced Standpoint|url=http://books.google.com/?id=7nUNAQAAIAAJ|accessdate=15 July 2012|year=1963|publisher= Addison-Wesley Pub. Co.|isbn=|page=}}</ref>

==ప్రమాణాలు==
[[Image:SquareMeterQuadrat.JPG|thumb|right|alt=A square made of PVC pipe on grass|A square metre [[quadrat]] made of PVC pipe.]]

ప్రతి పొడవు యొక్క ప్రమాణం సంబంధిత వైశాల్య ప్రమాణాన్ని కలిగి యుంటుంది. అనగా ఒక చతురస్ర వైశాల్యము దాని భుజం పై ఆధారపడి ఉంటుంది. అందువల్ల వైశాల్యము "చదరపు మీటర్లు" (m<sup>2</sup>),చదరపు సెం.మీ (cm<sup>2</sup>), చదరపు మిల్లీ మీటర్లు (mm<sup>2</sup>), చదరపు కిలో మీటర్లు (km<sup>2</sup>), చదరపు అడుగులు (ft<sup>2</sup>), చదరపు గజములు (yd<sup>2</sup>), చదరపు మైళ్లు (mi<sup>2</sup>), వంటి ప్రమాణాలలో కొలవబడుతుంది<ref name=BIPM2006Ch5/> బీజగణిత పరంగా ఈ ప్రమాణాలు వాటి పొడవు ప్రమాణాలకు సంబంధించిన చదరాలుగా చెప్పబడుతుంది.

SI పద్ధతిలో వైశాల్యమునకు ప్రమాణం స్క్వేర్ మీటరు. ఇది ఎస్.ఐ ఉత్పన్న ప్రమాణం<ref name=B/>.
===ప్రమాణాల మార్పులు===
[[Image:Area conversion - square mm in a square cm.png|thumb|right|320px|alt=A diagram showing the conversion factor between different areas|Although there are 10 mm in 1 cm, there are 100 mm<sup>2</sup> in 1 cm<sup>2</sup>.]]
వైశాల్యమునకు వివిధ ప్రమాణాల మార్పిడి వాటి చదరపు ప్రమాణాల యొక్క చదరాల పొడవుల మార్పిడి బట్టి గణిస్తారు. ఉదాహరణకు,

:1 [[అడుగు]] = 12 [[అంగుళము|అంగుళాలు]],
చదరపు అడుగు, చదరపు అంగుళము ల మధ్య సంబంధము
:1 చదరపు అడుగు = 144 దచరపు అంగుళాలు,
144 = 12<sup>2</sup> = 12 × 12. అవుతుంది కనుక, అదే విధంగా:
* 1 చదరపు కిలో మీటరు = [[మిలియను|1,000,000]] చదరపు మీటర్లు
* 1 చదరపు మీటరు= [[వేయి|10,000]] చదరపు సెంటీ మీటర్లు = 1,000,000 చదరపు మిల్లీ మీటర్లు
* 1 చదరపు సెంటీ మీటర్లు = [[వంద|100]] చదరపు మిల్లీ మీటర్లు
* 1 చదరపు గజము = [[తొమ్మిది|9]] చదరపు అడుగులు
* 1 చదరపు మైలు = 3,097,600 చదరపు గజములు = 27,878,400 చదరపు అడుగులు
మరికొన్ని,
* 1 చదరపు అంగుళాలు = 6.4516 చదరపు సెంటీ మీటర్లు
* 1 చదరపు అడుగు = {{gaps|0.092|903|04}} చదరపు మీటర్లు
* 1 చదరపు గజము = {{gaps|0.836|127|36}} చదరపు మీటరు
* 1 చదరపు మైలు= {{gaps|2.589|988|110|336}} చదరపు కిలో మీటర్లు.

===యితర ప్రమాణములు===
వైశాల్యములకు అనేక సాధారణ ప్రమాణాలు ఉన్నాయి. "ఏర్" అనునది మెట్రిక్ వ్యవస్థలో వైశాల్యమునకు ప్రమాణం;
*1 ఏర్ = 100 చదరపు మీటర్లు
భూమి కొలతలు కొలిచేటప్పుడు సాధారణంగా [[హెక్టారు]] అనే ప్రమాణమును ఉపయోగిస్తారు<ref name=BIPM2006Ch5>{{Cite journal|author= Bureau international des poids et mesures|year=2006 |url=http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf |title=The International System of Units (SI)|version= 8th ed.|accessdate=2008-02-13}} Chapter 5.</ref>
*1 హెక్టారు = 100 ఏర్లు = 10,000 చదరపు మీటర్లు = 0.01 చదరపు కిలో మీటర్లు;
మెట్రిక్ వ్యవస్థలో వాడే యితర వైశాల్య ప్రమానాలు [[:en:tetrad (unit of area)|టెట్రాడ్]], [[:en:hectad|హెక్టాడ్]], and the [[:en:myriad|మిరియడ్]].

[[ఎకరా]] అనునది సాధారణంగా భూమి వైశాల్యము కొలిచే ప్రమాణం

*1 ఎకరా = 4,840 చదరపు గజములు= 43,560 చదరపు అడుగులు.
ఒక ఎకరా సుమారు హెక్టారులో 40% ఉంటుంది.

పరమాణు స్కేల్ లో వైశాల్య ప్రమాణాలు [[:en:Barn (unit)|బార్న్]] లలో కొలుస్తారు. అందువలన<ref name=BIPM2006Ch5/>

*1 బార్న్= 10<sup>−28</sup> చదరపు మీటర్లు.
బార్న్ అనునది సధారణంగా కేంద్రక భౌతిక శాస్త్రంలో మధ్యచ్చేద వైశాల్యాలకు వాడుతారు<ref name=BIPM2006Ch5/>

భారతదేశంలో;

*20 ఢుక్రి = 1 ఢుర్
*20 ఢుర్ = 1 ఖత
*20 ఖత = 1 బిఘ
*32 ఖత = 1 ఎకరా

==వైశాల్యానికి సూత్రములు==

===బహుభుజి సూత్రములు===

====దీర్ఘచతురస్రము====
[[Image:RectangleLengthWidth.svg|thumb|right|180px|alt=A rectangle with length and width labelled|The area of this rectangle is&nbsp;{{mvar|lw}}.]]
[[దీర్ఘ చతురస్రం]] యొక్క వైశాల్యము కనుగొనుటకు సూత్రము మూలాధారమైనది. యిచ్చిన దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు {{mvar|l}}, వెడల్పు {{mvar|w}} ఐతే వైశాల్యం:</big>:<ref name=AF>{{cite web|url=http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm|title=Area Formulas|publisher=Math.com|accessdate=2 July 2012}}</ref> {{bigmath|''A'' {{=}} ''lw''}}&nbsp;(దీర్ఘ చతురస్రం)
అనగా దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం అనగా దాని పొడవు, వెడల్పుల లబ్ధము. కొన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలలో చతురస్రాలకు పొడవు వెడల్పులు సమానమైతే {math|''l'' {{=}} ''w''}}, దాని భుజము {{mvar|s}} అని యిస్తే దాని వైశాల్యమునకు సూత్రము:<ref name=MathWorld/><ref name=AF/>
:{{bigmath|''A'' {{=}} ''s''<sup>2</sup>}}&nbsp;(చతురస్రము)

అందువలన దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యమునకు సూత్రము అనునది వైశాల్యమునకు మూల ధర్మముగా ఉంది. కొన్నిసార్లు నిర్వచనలులకు, ప్రమాణములకు ఉపయోగపడుతుంది. [[అంకగణితం]] కంటే [[జ్యామితి]] ముందుగా అభివృద్ధి చెందినది. ఈ సూత్రము వాస్తవ సంఖ్యల గుణాకారం ఆధారంగా చేయబదుతుంది.

[[Image:ParallelogramArea.svg|thumb|left|180px|alt=A diagram showing how a parallelogram can be re-arranged into the shape of a rectangle|Equal area figures.]]

====డిసెక్షన్ సూత్రాలు====
మరి కొన్ని జ్యామితీయ ఆకృతుల వైశాల్యము కనుగొనుటకు ఆ పటాన్ని వివిధ చిన్న జ్యామితీయ ఆకృతులుగా విడదేసే పద్ధతి (డిసెక్షన్ పద్ధతి) ని వాడుతారు. ఈ విధానంలో యిచ్చిన ఆకృతిని చిన్న చిన్న ఆకృతులుగా విడగొట్టి వాటి విడి విడి వైశాల్యములు కనుగొని వాటి మొత్తమును కనుగొని అసలు ఆకృతి వైశాల్యమును గణిస్తారు.

ఉదాహరణకు ఏదైనా [[సమాంతర చతుర్భుజం]]ను ఒక [[ట్రెపీజియం]], [[లంబకోణ త్రిభుజం]]గా విడగొట్టి (పటంలో చూపబడినట్లు) అందులో గల త్రిభుజాన్ని ఆ ట్రెపీజియం యొక్క వేరొక వైపుకు తరలిస్తే అది దీర్ఘ చతురస్రమవుతుంది. అందువలన సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యము అంతే వెడల్పు గల దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యానికి సమానంగా ఉంటుంది.ref name=AF/>
:{{bigmath|''A'' {{=}} ''bh''}} <big>&nbsp;(సమాంతర చతుర్భుజం).</big>
[[Image:TriangleArea.svg|thumb|right|180px|alt=A parallelogram split into two equal triangles|Two equal triangles.]]However, the same parallelogram can also be cut along a [[diagonal]] into two [[congruence (geometry)|congruent]] triangles, as shown in the figure to the right. It follows that the area of each triangle is half the area of the parallelogram:<ref name=AF/> 
:<math>A = \frac{1}{2}bh</math> <big>&nbsp;(త్రిభుజం).</big>

అదే విధంగా ట్రెపీజియం, రాంబస్ వైశాల్యములను గణించవచ్చు. అదేవిధంగా అనేక బహుభుజుల వైశాల్యాలను గణించవచ్చు.

===వక్ర ఆకారాల విస్తీర్ణములు===

====[[వృత్తము|వృత్తములు]]====
<big><big>{{main|వృత్త వైశాల్యం}}</big></big>
[[Image:CircleArea.svg|thumb|right|alt=A circle divided into many sectors can be re-arranged roughly to form a parallelogram|A circle can be divided into [[Circular sector|sector]]s which rearrange to form an approximate [[parallelogram]].]]
వృత్తము యొక్క వైశాల్యమును గణించుటకు కూడా యిదే పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము. ఒక {{math|''r''}} వ్యాసార్థం గల వృత్తాన్ని తీసుకొని దానిని అనేక సెక్టర్లుగా విడగొట్టాలి. పటంలో ఎనిమిది సెక్టర్లుగా విడగొట్టబడింది. ప్రతి సెక్టరు ఒక త్రిభుజాకారంలో యుంటుంది. ఈ సెక్టర్లను కత్తిరించి వాటిని ఒక సమాంతర చతుర్భుజంగా పేర్చితే దాని ఎత్తు వృత్త వ్యాసార్థం {{math|''r''}}కి సమానంగా యుంటుంది., వృత్త చుట్టుకొలత యొక్క సగభాగం అనగా {{math|π''r''}} సమాంతా చతుర్భుజం యొక్క భూమి అవుతుంది. అందువలన వృత్త వైశాల్యము, దాని సెక్టర్లతో యేర్పడిన సమాంతర చతుర్భుజం వైశాల్యమునకు సమానం అనగా {{math|''r'' × π''r''}} లేదా{{math|π''r''<sup>2</sup>}}:<ref name=AF/>
:{{bigmath|''A'' {{=}} π''r''<sup>2</sup>}} <big>&nbsp;(వృత్తము).</big>
ఈ డిసెక్షన్ విధానము ఉపయోగించడం వలన వైశాల్య విలువ సుమారు విలువ వచ్చింది. దీనిలో దోషం చాలా తక్కువ ఉంది. సెక్టర్లను అతి చిన్నవి కత్తిరించితే దోషశాతం తగ్గుతుంది. సుమారు సమాంతర చతుర్భుజంగా ఉన్న వైశాల్యం యొక్క అవధి {{math|π''r''<sup>2</sup>}} అవుతుంది. అది వృత్త వైశాల్యమునకు సమానంగా ఉంటుంది.<ref name=Surveyor/>

ఈ వాదన కలనగణితంలో సాధారన అనువర్తనముగా యుంటుంది. ప్రాచీన కాలంలో వృత్త వైశాల్యమును కనుగొనుటకు ఈ కష్టమైన పద్ధతి ఉపయోగించేవారు. ఈ పద్ధతి ప్రస్తుతం "సమాకలన కలనగణితం"లో గుర్తింపు పొందినది. ఈనవీన పద్ధతి ఉపయోగించి సమాకలన పద్ధతుల ద్వారా వృత్త వైశాల్యమును ఈ క్రింది విధంగా గణించవచ్చు.

:<math>A \;=\; \int_{-r}^r 2\sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2</math>

====దీర్ఘవృత్తము====
దీర్ఘ వృత్తము యొక్క వైశాల్యమునకు సూత్రము వృత్త వైశాల్య సూత్రమును పోలి యుంటుంది; ఒక దీర్ఘ వృత్తాన్ని దీర్ఘాక్షం, హ్రస్వాక్షం యుంటాయి.వాటిని {{math|''x''}} , {{math|''y''}} లతో సూచిస్తే దాని వైశాల్యమునకు సూత్రము::<ref name=AF/>
:<math>A = \pi xy \,\!</math>

====ఉపరితల వైశాల్యము====
[[Image:Archimedes sphere and cylinder.svg|right|thumb|180px|alt=A blue sphere inside a cylinder of the same height and radius|[[Archimedes]] showed that the surface area and volume of a [[sphere]] is exactly 2/3 of the area and volume of the surrounding [[cylinder (geometry)|cylindrical]] surface.]]
కొన్ని త్రిమితీయ ఆకృతుల ఉపరితల వైశాల్యములను వాటి ఉపరితలాలను కత్తిరించి వాటిని సమతలంగా చేసి కనుగొనవచ్చును. ఉదాహరణకు ఒక స్థూపం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము లేదా ఒక పట్టకం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము కనుగొనునపుడు వాతి ఉపరితలాలు ఒక దీర్ఘ చతురస్ర ఆకారంలోకి వస్తాయి. అదేవిధంగా ఒక శంకువు యొక్క ప్రక్కతలం కత్తిరించిన అది సమతలంగా ఉంచితే అది సెక్టరును పోలి యుంటుంది దీని వల్ల వైశాల్యములను గణించవచ్చు.

ఒక గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము గణించుట కష్టసాధ్యమైనది. ఎందువలనంటే దాని ఉపరితలం శూన్యం కాని గాసియన్ వక్రము. ఇది సమతలంగా చేయుట అసాధ్యము. దీని ఉపరితల వైశాల్యమునకు సూత్రమును మొట్టమొదట కనుగొనిన వాడు [[ఆర్కిమెడిస్]]. ఆయన గ్రంథం ''[[On the Sphere and Cylinder]]''లో దీని వైశాల్య సూత్రాన్ని వివరించడం జరిగింది. ఉపరితల వైశాల్యమునకు సూత్రము:<ref name=MathWorldSurfaceArea/>
:{{bigmath|''A'' {{=}} 4''πr''<sup>2</sup>}} <big>&nbsp;(గోళము).</big>

{{math|''r''}} అనునది గోళం యొక్క వ్యాసార్థం. ఈ సూత్రం ఫలితంగా ఏదైనా సూత్రమును కలనగణిత సూత్రాలనుపయోగించి గణించవచ్చు.

===సాధారణ సూత్రాలు===

====ద్విమితీయ పటాల వైశాల్యములు====
* [[త్రిభుజం]] : <math>\tfrac12Bh</math> (''B'' అనగా ఏదైనా భుజం, ''h'' ఆ భుజమునుండి ఎదుటి శీర్షమునకు గీచిన లంబం పొడవు), ఈ సూత్రములో ''h''ను "ఎత్తు" అని కూడా అంటారు. త్రిభుజం యొక్క భుజముల పొడవులు తెలిస్తే దాని వైశాల్యమును <math>\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math> సూత్రంతో గణించవచ్చు. దీనిలో ''a'', ''b'', ''c''లు త్రిభుజ భుజాలు, <math>s = \tfrac12(a + b + c)</math> (చుట్టుకొలతలో సగం)<ref name=AF/>. ఒకవేళ త్రిభుజంలో ఒక కోణము, ఆ కోణమునకు ఆసన్న భుజాలు ఇచ్చినపుడు వైశాల్యమును <math>\tfrac12 a b \sin(C)</math> సూత్రంతో గణించవచ్చు. ఇందులో {{math|''C''}} అనునది కోణము, {{math|''a''}}, {{math|''b''}}లు ఆ కోణము యేర్పరచిన భుజముల పొడవులు<ref name=AF/> .ఒక వేళ త్రిభుజం నిరూపక తలంలో మూడు బిందువులతో కూడుకున్నదైతే దాని వైశాల్యమును <math>\tfrac12(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - x_1 y_3)</math> సూత్రంతో గణించవచ్చు. ఈ సూత్రమును షోలాక్ సూత్రం అంటారు. దీని ద్వారా మూడు శీర్షాల నిరూపకాలు అయిన ''(x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>)'', ''(x<sub>2</sub>,y<sub>2</sub>)'', ''(x<sub>3</sub>,y<sub>3</sub>)'' ల విలువలను ప్రతిక్షేపించి త్రిభుజ వైశాల్యమును గణించవచ్చు. ఈ షోలాక్ సూత్రమును వివిధ బహుభుజుల వైసాల్యముల వైశాల్యములు కనుగొనుటకు ఉపయోగిస్తారు. నిరూపక జ్యామితిలో త్రిభుజ వైశాల్యమును గణించుటకు వేరొక పద్ధతి కలనగణిత పద్ధతి.

====కలనగణిత వైశాల్యములు====
[[File:Integral as region under curve.svg|left|thumb|280px|alt=A diagram showing the area between a given curve and the x-axis|Integration can be thought of as measuring the area under a curve, defined by ''f'' (''x''), between two points (here ''a'' and ''b'').]]
[[File:Areabetweentwographs.svg|thumb|287px|alt=A diagram showing the area between two functions|The area between two graphs can be evaluated by calculating the difference between the integrals of the two functions]]
* ఒక ధనాత్మక విలువల వక్రము, అడ్డు అక్షమునకు ''a'', ''b'' బిందువుల మధ్య గల వైశాల్యమును ఆ వక్ర ప్రమేయమునకు సమాకలనాన్ని ''a'' నుండి ''b'' బిందువుల మధ్య గణించాలి<ref name=MathWorld/>.
:<math> A = \int_a^{b} f(x) \, dx</math>
* రెండు ప్రమేయాల యొక్క గ్రాఫ్‌ల మధ్య గల వైశాల్యము ఒక ప్రమేయము ''f'' (''x'') యొక్క సమాకలనానికి, రెండవ ప్రమేయం ''g'' (''x'') యొక్క సమాకలనానికి ఋణ గుర్తుకు సమానంగా ఉంటుంది.
:<math> A = \int_a^{b} ( f(x) - g(x) ) \, dx </math> , <math> f(x) </math> అనునది ఎక్కువ y-విలువ గల వక్రము.
* ఒక పోలార్ నిరూపకాలతో కూడిన ప్రమేయం ''r'' = ''r'' (θ) ఐతే <ref name=MathWorld/>
:<math>A = {1 \over 2} \int r^2 \, d\theta </math>
* ఒక <math>\vec u(t) = (x(t), y(t)) </math> అంత్య బిందువులుగా గల <math> \vec u(t_0) = \vec u(t_1) </math> అనే పారామెట్రిక్ వక్రము వైశాల్యమును 
::<math> \oint_{t_0}^{t_1} x \dot y \, dt = - \oint_{t_0}^{t_1} y \dot x \, dt = {1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} (x \dot y - y \dot x) \, dt </math> తో గణించవచ్చు.
( [[గ్రీన్ సిద్ధాంతము]] చూడండి.) లేదా ''z'' అనునది 
:<math>{1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} \vec u \times \dot{\vec u} \, dt.</math> యొక్క కాంపొనెంట్.

====త్రిమితీయ పటాల ఉపరితల వైశాల్యము====
*[[శంకువు]]:<ref name=MathWorldCone>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Cone.html|title=Cone|publisher=[[Wolfram MathWorld]]|author=[[Eric W. Weisstein]]|accessdate=6 July 2012}}</ref> <math>\pi r\left(r + \sqrt{r^2 + h^2}\right)</math>, ''r'' అనగా వృత్తాకార భూమి వ్యాసార్థము,, ''h'' అనగా శంకువు ఎత్తు.దీనిని <math>\pi r^2 + \pi r l </math> అని కూడా వ్రాయవచ్చు.<ref name=MathWorldCone/> లేదా <math>\pi r (r + l) \,\!</math> ''r'' అనగా వ్యాసార్థము, ''l'' అనగా వాలు తలం యొక్క పొడవు.<math>\pi r^2 </math> అనేది భూ వైశాల్యము. దాని ప్రక్కతల వైశాల్యము <math>\pi r l </math> అవుతుంది.<ref name=MathWorldCone/>
*[[సమఘనం]]: <math>6s^2</math>, ''s'' అనగా ఒక భుజం పొడవు.<ref name=MathWorldSurfaceArea/>
*[[స్తూపము]]: <math>2\pi r(r + h)</math>, ''r'' అనగా భూవ్యాసార్థము, ''h'' అనగా ఎత్తు. ''2<math>\pi</math>r''ను ''<math>\pi</math> d''గా కూడా వ్రాయవచ్చు.దీనిలో ''d'' వృత్త [[వ్యాసము]] అవుతుంది.
*[[పట్టకము]]: 2B + Ph, ''B'' అనగా భూ వైశాల్యము, ''P'' అనగా భూమి యొక్క చుట్టుకొలత, ''h'' అనగా పట్టకము యొక్క ఎత్తు.
*[[పిరమిడ్]]: <math>B + \frac{PL}{2}</math>, ''B'' అనగా భూవైశాల్యము. ''P'' అనగా భూ చుట్టుకొలత, ''L'' అనేది స్లాంట్ పొడవు.
*[[దీర్ఘచతురస్రాకార పట్టకము]]: <math>2 (\ell w + \ell h + w h)</math>, <math>\ell</math>అనగా పొడవు, ''w'' అనగా వెడల్పు, ''h'' అనగా ఎత్తు.

====సాధారణ సూత్రములు====
ఒక గ్రాఫ్ యొక్క అవిచ్ఛిన్న అవకలజ ప్రమేయం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యమునకు సాదారణ సూత్రము <math>z=f(x,y),</math> where <math>(x,y)\in D\subset\mathbb{R}^2</math> and <math>D</math> is a region in the xy-plane with the smooth boundary:
: <math> A=\iint_D\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1}\,dx\,dy. </math>
Even more general formula for the area of the graph of a [[parametric surface]] in the vector form <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v),</math> where <math>\mathbf{r}</math> is a continuously differentiable vector function of <math>(u,v)\in D\subset\mathbb{R}^2</math>:<ref name="doCarmo"/>
: <math> A=\iint_D \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv. </math>

===సూత్రాల జాబితా===
వివిధ క్రమ, క్రమరహిత బహుభుజుల వైశాల్యముల సూత్రములను ఈ దిగువ పట్టికలో చూడవచ్చు.
{| class="wikitable"
|+ మరికొన్ని వైశాల్యములకు సాధారణ సూత్రములు:
! ఆకారము
! సూత్రము
! చరరాశులు
|-
|క్రమ[[త్రిభుజం]] ([[సమబాహు త్రిభుజం]])
||<math>\frac{1}{4} \sqrt{3}s^2\,\!</math>
||<math>s</math> అనునది త్రిభుజం యొక్క ఒక భుజం.
|-
|[[త్రిభుజం]]<ref name=MathWorld/>
|<math>\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,\!</math>
|<math> s </math> అనగా చుట్టుకొలతలో సగం. <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>లు త్రిభుజ భుజాలు.
|-
|[[త్రిభుజం]]<ref name=AF/>
|<math>\tfrac12 a b \sin(C)\,\!</math>
|<math>a</math>, <math>b</math>లు రెండు భుజాలు, <math>C</math> అనగా ఆ భుజాల మధ్య కోణము.
|-
|[[త్రిభుజం]]<ref name=MathWorld/>
|<math>\tfrac12bh \,\!</math>
|<math>b</math>, <math>h</math>లు భూమి, ఎత్తు.
|-
|[[రాంబస్]]
|<math>\tfrac12ab</math>
|<math>a</math>, <math>b</math>లు రాంబస్ యొక్క రెండు కర్ణముల పొడవులు.
|-
|[[సమాంతర చతుర్భుజం]]
|<math>bh\,\!</math>
|<math>b</math> అనగా భూమి పొడవు., <math>h</math> అనగా ఎత్తు.
|-
|[[ట్రెపీజియం]]
|<math>\tfrac12(a+b)h \,\!</math>
|<math>a</math> and <math>b</math>లు సమాంతర భుజముల పొడవులు, <math>h</math> రెండు సమాంతర భుజాల మధ్య దూరం.
|-
|క్రమ [[షడ్భుజి]]
|<math>\frac{3}{2} \sqrt{3}s^2\,\!</math>
|<math>s</math> అనగా దాని ఒక భుజము.
|-
|క్రమ[[అష్టభుజి]]
|<math>2(1+\sqrt{2})s^2\,\!</math>
|<math>s</math> అనగా దాని ఒక భుజము.
|-
| [[క్రమ బహుభుజి]]
|<math>\frac{1}{4}nl^2\cdot \cot(\pi/n)\,\!</math>
|<math> l </math> అనగా భుజం పొడవు, <math>n</math> అనగా భుజముల సంఖ్య.
|-
| క్రమ బహుభుజి
|<math>\frac{1}{4n}p^2\cdot \cot(\pi/n)\,\!</math>
|<math> p </math> అనగా చుట్టుకొలత, <math>n</math> అనగా భుజముల సంఖ్య
|-
| క్రమ బహుభుజి
|<math>\frac{1}{2}nR^2\cdot \sin(2\pi/n) = nr^2 \tan(\pi/n)\,\!</math>
|<math> R </math> అనగా పరివృత్త వ్యాసార్థం, <math>r</math> అనగా అంతర వృత్త వ్యాసార్థం, <math>n</math> అనగా భుజముల సంఖ్య.
|-
| క్రమ బహుభుజి
|<math>\tfrac12a p \,\!</math>
|<math>a</math> అనగా అపోథెం, లేదా అంతర వృత్త వ్యాసార్థం, <math>p</math> బహుభుజి యొక్క చుట్టుకొలత.
|-
|[[వృత్తము]]
|<math>\pi r^2\ \text{or}\ \frac{\pi d^2}{4} \,\!</math>
|<math>r</math> అనగా వ్యాసార్థము, <math>d</math> [[వ్యాసము]]
|-
|[[సెక్టరు]]
|<math>\frac{\theta}{2}r^2\ \text{or}\ \frac{L \cdot r}{2}\,\!</math>
|<math>r</math>, <math>\theta</math> దాని వ్యాసార్థం, కోణం (రేడియన్లలో),, <math>L</math> వుట్టుకొలత
|-
|[[దీర్ఘవృత్తం]]<ref name=AF/>
|<math>\pi ab \,\!</math>
|<math>a</math>, <math>b</math>లు దీర్ఘాక్షం, హ్రస్వాక్షం పొడవులు.
|-
|[[స్తూపం]] యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము
|<math>2\pi r (r + h)\,\!</math>
|<math>r</math>, <math>h</math>లు వ్యాసార్థం, ఎత్తులు .
|-
|స్తూపం ప్రక్కతల వైశాల్యం
|<math>2 \pi r h \,\!</math>
|<math>r</math>, <math>h</math>లు వ్యాసార్థం, ఎత్తులు .
|-
|[[గోళము]] యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము.<ref name=MathWorldSurfaceArea/>
|<math>4\pi r^2\ \text{or}\ \pi d^2\,\!</math>
|<math>r</math>, <math>d</math>లు వ్యాసార్థము, వ్యాసములు 
|-
|పిరమిడ్ యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము.<ref name=MathWorldSurfaceArea/>
|<math>B+\frac{P L}{2}\,\!</math>
|<math>B</math> అనగా భూ వైశాల్యము,<math>P</math> అనగా చుట్టుకొలత, <math>L</math> అనగా వాలు ఎత్తు.
|-
|[[Square (geometry)|Square]] to circular area conversion
|<math>\frac{4}{\pi} A\,\!</math>
|<math>A</math> is the area of the [[Square (geometry)|square]] in square units.
|-
|[[Circle|Circular]] to square area conversion
|<math>\frac{1}{4} C\pi\,\!</math>
|<math>C</math> is the area of the [[circle]] in circular units.
|}
పై గణనలు సాధారణ ఆకృతులకు వైశాల్యమును కనుగొను సూత్రములు.

అక్రమాకార బహుభుజులకు సర్వేయర్ సూత్రాలతో వైశాల్యమును గణించవచ్చు<ref name=Surveyor>{{cite journal|last1=Braden|first1=Bart|year=September 1986|title=The Surveyor's Area Formula|journal=The College Mathematics Journal|volume=17|issue=4|pages=326–337|publisher=|doi=10.2307/2686282|url=http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf|accessdate=15 July 2012|archiveurl=https://web.archive.org/web/20031105063724/http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf|archivedate=5 నవంబరు 2003|url-status=live}}</ref>

==యివి కూడా చూడండి==
* [[వృత్త వైశాల్యం]]

==సూచికలు==
{{reflist|30em}}

==యితర లింకులు==
{{Commons category|Area}}
{{Wiktionary}}
* [https://web.archive.org/web/20180807224450/https://area-of-a-circle.com/ Area Calculator]
* [http://www.sengpielaudio.com/calculator-cross-section.htm Conversion cable diameter to circle cross-sectional area and vice versa]

[[వర్గం:వైశాల్యాలు]]
[[వర్గం:రేఖా గణితం]]
[[వర్గం:గణిత శాస్త్రము]]